A matematika és a teológia -Jesenius konferenciaközpont – Tanulmányok

Nemrég jelent meg a Kálvin Kiadó gondozásában a Jesenius Központ elsõ konferenciakötete (Kompetencia, kompatibilitás, kooperáció), Kodácsy Tamás szerkesztésében. Az alábbiakban a kötet ismertetését (Viczián István) és két tanulmányát: Kvasz László és Szirtes András munkáját közöljük a matematika és a teológia kapcsolatáról.

Kompetencia, kompatibilitás, kooperáció

– Jesenius konferencia 2005. Szerkesztette: Kodácsy Tamás. Kálvin Kiadó, Budapest, 2006 –

A Tudomány és Hit Jesenius Központ által 2005. szeptemberében rendezett konferenciával már foglalkoztam a Presbiter c. folyóirat 2006. január-február havi számában. Ekkor nem az elõadások konkrét tartalmát ismertettem, hanem a hit és tudomány viszonyáról elmélkedtem a Hegyi Beszéd disznós-gyöngyös hasonlata alapján. Úgy gondoltam, hogy ebben a hasonlatban a teológia tárgya, az Isten igéje jelenti a gyöngyszemeket, a természettudomány – kétségtelenül a társadalom számára hasznos – eredményei pedig a kukoricaszemeket. A gyöngyszemeket ugyan nem lehet olyan hasznos célra felhasználni, mint a disznók etetése, mégis kimondhatatlanul értékesebbek, mint a kukoricaszemek, és így is kell velük bánni.

Most azonban lehetõség nyílik, hogy a konferencián elhangzott elõadások egy részét közelebbrõl is megismerjük, mert a Kálvin Kiadó megjelentette a konferencia anyagát a fenti, kissé nehezen megjegyezhetõ címen. A könyvben 17 elõadás szövegét találjuk. A szerzõk teológusok és természettudósok, 1:3 arányban. Még annak is, aki jelen volt a konferencián, nagy haszon elolvasni a sok értékes gondolatot, szempontot felvetõ írásokat. A teljes ismertetésre itt nem is vállalkozhatunk, csak három kérdéscsoportot emelünk ki.

1. Természetszerûleg az egyik fõ kérdés a tudomány és a teológia viszonya volt. Bolyki János református teológia-professzor a ?heuréka" (=megtaláltam) szóval fejezte ezt ki: nemcsak Archimédesz kiáltotta ezt egy felfedezés után, hanem János evangéliuma eredeti görög nyelvû szövege szerint András és János is, amikor azt mondták: ?Megtaláltuk a Messiást"! Ennek a rátalálásnak az öröme hozza közel a tudományt és a hitet. Ezt a viszonyt Kodácsy Tamás református egyetemi lelkész szellemes matematikai példával fejezi ki, amikor a teológia és a természettudomány viszonyát a számegyenesen levõ transzcendens és algebrai számok közötti különbséghez hasonlítja. Ezzel kapcsolatban idéz egy olyan megállapítást is, amit mi természettudósok megszívlelhetünk: ?A természettudósok kirándulásai a teológia területére kínosan naivak vagy dogmatikusak lehetnek."

Ehhez az alapkérdéshez kapcsolódott Szûcs Ferenc református teológia-professzor alapos tanulmánya a teológia logikájáról. Történeti áttekintésében rámutat, hogy Aquinoi Tamással szemben a reformációval ?megszûnt a világegyetem logikájának a teológián belüli értelmezése", a teológia feladata csak a Szentírás értelmezése maradt. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a teológia nem a logika elvei szerint felépített tudomány, és hogy nem fejezi ki magát logikusan. Jellemzõ vonása viszont a teológia kijelentéseinek a paradoxon. Ez nem egyszerû ellentmondás, csak a véges ész vélekedésével szemben való kijelentés. A legnagyobb paradoxon, hogy az Ige testté lett, és mégis látni lehetett dicsõségét (János 1,14). Vagy más szavakkal, Kodácsy Tamás tanulmányában, Tillich német teológust idézve ez a paradoxon így hangzik: ?Jézus a Krisztus". Ez az, ami minden értelmet felül-halad (Fil. 4,7). A teológiai kijelentések másik jellemvonása a komplementaritás, az egymást kiegészítõ, de egymással nem ellentétben levõ jelleg. Bolyki János ehhez az elõadáshoz írt hozzászólásában a komplementaritás fogalmához hozott példákat az atomfizika és a krisztológia területérõl (pl. mind a fény, mind Krisztus kettõs természete egymást kiegészítõ, komplementer kijelentésekkel írható le). Egy másik hozzászólásban Csepregi András evangélikus teológus a paradoxon fogalmának történelmi változásait taglalta.

A teológia logikájához tartozik még a tudományos megállapítások levezetésének módszere. Béres Tamás evangélikus teológus tanulmányából megtudhatjuk, hogy a természettudományban használatos indukció és dedukció mellett a teológia legtöbbször egy harmadik módszert, a retrodukciót használja, amelyben az ?Alkotó nyomaira való rácsodálkozás" is helyet kap. Végh László debreceni fizikus és egyetemi tanár a természettudomány és a vallás mûvelõi közötti viszonyt az ?okos" és a ?bölcs" kutató közötti különbség megfogalmazásával érzékelteti.

A vallás és természettudomány viszonyához tartozik azoknak a 20. századi és kortárs filozófusoknak bemutatása, akik általában matematikusként vagy fizikusként indulva igyekeztek újszerû szintézist alkotni a tudomány és a hit között. Tóth Mihály, a Pázmány Péter egyetemen tanító vallásfilozófus elõadása szerint legnevesebb képviselõi ennek a folyamat-filozófiának nevezett irányzatnak az angol Alfred N. Whitehead és tanítványa, Charles Hartshorne voltak, de jelenleg is, fõleg Amerikában több jelentõs természettudós képviseli ezt az irányzatot. Egy másik matematikai irányzatot képvisel Richard Swinburne, aki Pascal nyomdokain a valószínûségszámítást akarja felhasználni a hit igazságainak bizonyítására (a konferencián Szirtes András elõadása említette).

2. A konferencián szereplõ természettudósok között meglepõen sok matematikus, informatikus volt. Kvasz László pozsonyi matematikus és tudománytörténész arra mutatott rá, hogy a matematika középkori és kora újkori fejlõdését hogyan segítette elõ a monoteista teológia addigra már kialakult fogalomrendszere. Erre olyan fogalmak matematikai definiálása mutat, mint a végtelen, a véletlen, az ismeretlen, a tér és a mozgás. Szirtes András baptista teológus szerint ez a viszony az újkorban megfordult, és a matematikai módszer lett a példaképe a filozófusoknak és a teológusoknak is. Spinoza pl. more geometrico (=geometriai módon), axiomatikus úton építi fel etikáját, de a késõbbi teológusok, nemcsak a liberális, hanem az ébredési és baptista teológusok is fontosnak tartják, hogy teológiai tudományos munkájukban valamilyen axiómarendszerbõl induljanak ki, valamilyen, a matematikaihoz hasonló bizonyítási eljárást alkalmazzanak. Az egy biztos matematikai igazságba vetett hitet késõbb viszont éppen az axióma-rendszer kritikai vizsgálata ingatta meg. Ebben a Bolyai-féle geometria tette meg az elsõ lépést, és ebben döntõ eredmény Gödel osztrák matematikus 1931-ben publikált nemteljességi tétele. Ezek után a teológiának sem lehet példaképe az axiomatikus tárgyalásmód. Már Barth és Pannenberg is elvetették azt a módszert, hogy teológiai munkáik igazságát a bevezetõben (=prolegomenon-ban) más tudományokból vett érvekkel támasszák alá.

A Gödel-tétellel más elõadók is foglalkoztak. Simon Ilona matematikus részletes ismertetése szerint ez azt mondja ki, hogy az igazság fogalma felette áll a bizonyíthatóság fogalmának. Egészen más szempontból hivatkozik erre a tételre Prõhle Péter matematikus is, aki szerint a hit általi megigazulás tana valami hasonlót mondott ki majdnem kétezer évvel korábban. Eszerint ugyanis nem lehet pusztán a törvény cselekedeteibõl, egy algoritmusrendszer akármilyen pontos betartásával Isten elõtt megigazult emberré válni. Szintén õ egy másik hasonlóságot a matematika és a Biblia gondolkodásmódja között abban lát, hogy a matematika csak egyértelmû fogalmakkal tud dolgozni. Ugyanerre az egyértelmûségre való törekvést lehet kiolvasni a teremtéstörténetben Isten szétválasztó cselekedeteibõl, amikor pl. a világosságot és a sötétséget, a tengert és a szárazföldet elválasztja egymástól. Isten is egyértelmû világot teremtett.

Mintegy a konferencia díszvendégének számított Vámos Tibor számítástechnikával és automatizálással foglalkozó akadémikus, aki ugyan bevallottan ateistaként, de nagy jóindulattal osztotta meg a hallgatósággal gazdag élettapasztalatát az emberi gondolkodás, a modellalkotás és a számítógépek alkalmazása témakörébõl.

3. A harmadik téma a föld- és élettudományok hitbeli kapcsolatai voltak. Teológiai alapvetésnek itt Zsengellér József református teológiai tanár elõadását tekinthetjük, aki arról adott áttekintést, hogy az Ószövetségben milyen sok helyen és milyen sokféle mûfajban van szó a teremtésrõl. A hitnek a bibliai kijelentés összességén kell alapulnia. Szerencsés módon sikerült elkerülni a meddõ vitákat a kreacionizmus és az evolucionizmus között. Erre csak Hahn György professzor és tanítványa, Lõvei Zsuzsanna földrajztudományi dolgozata utalt, de õk is csak az egyezéseket emelték ki a Genezis 1. fejezetében levõ teremtéstörténet és a modern földtörténeti szemlélet között. Elõadásukban a földtörténeten belül különösen a jégkorszakokra tértek ki, és utaltak a jég gyors elolvadása és az özönvíz közötti lehetséges kapcsolatra. A fejlõdés általános problémáit. Victor András ?környezeti nevelõ" fõiskolai tanár tárgyalta. Ilyen általános jelenségek a fejlõdés során a rend és a rendezetlenség párhuzamos növekedése, a fejlettebb rendszereknek az egyszerûbbekre való visszavezethetetlensége (a redukcionizmus jogosulatlansága) és az átmenetek fokozatos volta. Megállapítja, hogy ?nagy és alapvetõ kérdés ezek után, hogy ki hogyan látja a Teremtõ szerepét ebben a folyamatban", de erre nem ad választ. Saját magam (Viczián István geológus) elõadásomban nem evolúciós kérdést tárgyaltam, hanem a földtudományok egy másik ága, az ásványtan segítségével azt akartam megmutatni, hogy milyen pontos megfigyelés I. Mózes 2-ben az, hogy a száraz földet az alulról felfelé szálló pára nedvesíti meg. Arra is utaltam, hogy a nedves agyag a fazekas kezében a Bibliában nemcsak a teremtéstörténetben, hanem sok más helyen is komoly lelki mondanivalókat hordozó kép.

A biológia és a teológia viszonyával Orosz Gábor Viktor evangélikus teológus foglalkozott. Rámutatott arra a veszélyre, amikor a modern genetika eredményeire hivatkozva a vallásról és az istenhitrõl mint biológiai jelenségekrõl beszélnek, megtalálni vélik az ?Isten-gén"-t, ami meghatározza, hogy valaki vallásos lesz-e, vagy sem. Általában megengedhetetlen reduktív felfogás a vallás helyettesítése a biológiával vagy az orvostudománnyal. Az igazi megváltást az jelenti, hogy mi a jövõtõl (=futurum) nem a világ jelenlegi ?kínok közötti sóhajtozásának" a meghosszabbítását várjuk, hanem Isten Fia eljövetelét (=adventus), aki új világot hoz. A világot nem a klónozott bárány, hanem az ?Isten Báránya" váltja meg. Az életet és az ember méltóságát érintõ kérdésekben a hitnek fontos mondanivalói vannak.

A fentiekben csak néhány gondolatot tudtunk felvillantani a konferencia gazdag anyagából. Látható, hogy a teológia és természettudomány képviselõinek párbeszédét a nyitottság és a jóindulat vezette. Reméljük, hogy az ilyen légkörû beszélgetéseken Isten áldása van.

Viczián István

KVASZ LÁSZLÓ

A matematika és teológia láthatatlan kapcsolódási pontjai^*1

A matematikatörténetben számos olyan témakörrel találkozhatunk, amelyek a matematika és a teológia közötti közvetlen kapcsolatra világítanak rá. Talán ezek közül is a legnépszerûbb terület a halmazelmélet, amellyel összefügg a potenciális végtelen fogalmának az aktuális végtelenbe való átmenete. Bemard Bolzano és Georg Cantor, a halmazelmé­let megalapítóinak mûveit vizsgálva olyan explicit teológiai hatásokat találhatunk, amelyek ismerete fontos szerepet játszik a halmazelmélet történetének megértésében is.¹ Egy másik téma, amely a matematika és teológia találkozására világít rá, a matematikai logika. Gottlob Frege és Bertrand Russell neve jelzi a végét annak a hosszú korszaknak, mely a különféle istenbizonyítékok kritikai vizsgálatára összpontosított, s amelynek során a modern logika számos alapelvét fedezték fel [13] [7] [14]. Ennek a kornak az illusztrálásához elég Kant azon tételére gondolnunk, mely szerint a létezés nem valódi prédikátum. Kant ezt az állítását Anselmus ontológiai istenérvének kritikája során fogalmazta meg. (Kant szerint, mivel a létezés nem valódi prédikátum, ezért abból az elõfeltételbõl, mely szerint minden pozitív állítás Istenre vonatkozik, nem következik, hogy Isten létezik.) A matematikai logikában Kant tétele egyike a prédikátumkalkulus szintaktikai alapelveinek. Ezzel az alapelvvel összhangban a létezés nem prédikátumokkal, hanem kvantorokkal fogalmazható meg. Azonban a matematika és a teológia eddig említett közvetlen kapcsolódási pontjai mellett felfedezhetjük a teológia rejtett, de számunkra esetleg még fontosabb hatásait is a matematikára. A teológia ezen rejtett hatása húzza meg azt a határt, amely megkülönbözteti a matematikai leírás számára nyitott jelenségeket a matematikailag leírhatatlanoktól.

Ha összehasonlítjuk az antik kor matematikáját a 17. századi matematikával, több tekintetben is alapvetõ különbséget találunk. Az ókori gondolkodás szerint az olyan fogalmak, mint ?végtelen", ?véletlen", ?tér" vagy ?mozgás" a matematikai leírás határain kívül helyezkedtek el, míg a 17. században új matematikai elméletek sora épült ezekre a fogalmakra. Véleményünk szerint ez a lényeges változás a teológia hatásának tudható be. Az ókori ember számára az ontológia és az episztemológia egységben voltak. Olyannak tekintették a világot, ahogyan az megjelent elõttük, így a ?végtelen" vagy ?véletlen" jelenségeit kétértelmûnek és homályosnak vélték a tapasztalataik alapján. Az újkor embere számára azonban az ontológia és az episztemológia alapvetõ módon különböznek egymástól. A világ létét a mindentudó Isten határozza meg, ezért a világ tökéletes, azonban a világról szerzett ismereteinket az emberi értelem véges kapacitása korlátozza, ezért azok homályosak. Pontosan ez az a szakadék az ontológia és az episztemológia között, amely látszólagos kétértelmûségük ellenére az olyan fogalmakat, mint ?végtelen" vagy ?véletlen" elérhetõvé teszi a matematikai gondolkodás számára.

A dolgozat elsõ részében a matematikatörténet öt példáján keresztül mutatjuk be azokat az alapvetõ változásokat, amelyek ebben a tudományágban következtek be a késõ antik kor és a kora újkor között. Mindezek a példák külön-külön közismertek a matematikatörténetben, azonban ha egymás mellé helyezzük õket, egy közös mintát vélünk felfedezni a bekövetkezett változások mindegyikében. Mind az öt jelenség – amely az ókori ember számára matematikailag leírhatatlannak tûnt – a matematikai vizsgálódás tárgya lett. A dolgozat tézise szerint a mindentudó és mindenható teremtõ Isten eszméjével a monoteista teológia közvetett módon befolyásolta a matematikai leírhatóság határát. Azáltal, hogy az ontológiát elválasztotta az episztemológiától, a monoteista teológia megadta a lehetõségét annak, hogy az említett jelenségek kétértelmûségeit az emberi végesség eredményének tudjuk be, s így magukat a jelenségeket egyértelmûként, s a matematikai leírás számára elérhetõként értelmezzük.

A matematizálás határainak kora újkori eltolódásai

Ha fel akarjuk tárni azt az implicit, közvetlen utat, amelynek során a monoteista teológia a nyugati matematikára hatott, hasznos lesz összehasonlítani a késõ antik matematikát a 16-17. századival. Ebben a késõbbi korszakban a nyugati matematika, több évszázados hanyatlás és stagnálás után végül elérkezett egy olyan szellemi szintre, amely már összehasonlítható volt az Arkhimédész és Apollonius mûvei által fémjelzett késõ hellén korral. Összehasonlítva ennek a két kornak a matematikáját, egy meglepõ tényre derül fény. A 16. és 17. század matematikája nem egyszerûen újraéledése volt a régi hagyománynak. A késõ antik kor matematikája számos tekintetben különbözik a 16. és 17. század matematikájától, amely megítélésünk szerint a monoteista teológia matematikára történõ hatásával magyarázható. Ahhoz, hogy jobban megértsük ezeket a szempontokat, öt olyan fogalmat fogunk megvizsgálni, amelyek gyökeres változásokon mentek keresztül. Ezek a ?végtelen", a ?véletlen", az ?ismeretlen" a ?tér"és a ?mozgás" fogalmai.

Apeiron – végtelen

Azt, amire ma a ?végtelen" szóval hivatkozunk, az antik korban az apeiron fogalma fedte le. Azonban a mai, modern ?végtelen" fogalmunkkal összehasonlítva, az apeiron fogalma tágabb jelentéssel bírt. Nem csak arra vonatkozott, ami végtelen volt, hanem mindenre, aminek nem volt határa (peras), ami határozatlan, homályos vagy elmosódott volt. Az ókori tudósok számára az apeiron valami olyasmit jelentett, aminek hiányoztak a határai és a kellõ meghatározottsága, ezért bizonytalan volt. Az apeiron matematikai vizsgálata elképzelhetetlen volt, hiszen a matematika a határozottság, az egyértelmûség és a biztos ismeret tudománya volt. Azt, aminek nem volt határa (peras), nem lehetett a matematika tiszta és világos fogalmainak alávetni.

Ezzel ellentétben, a modern matematika különbséget tesz a ?végtelen" és a ?határozatlan" fogalma között. Annak ellenére, hogy nincs vége (finis), ma mégis határozottnak és egyértelmûnek, s ezáltal a matematikai kutatás számára elérhetõnek tekintjük a ?végtelen"-t. Legyen az akár egy végtelen kiterjedésû geometriai alakzat,² egy végtelen kicsi mennyiség,³ vagy egy végtelen halmaz,⁴ mindegyikre úgy tekintünk, mint amely a matematikához tartozik. Az apeiron ókori fogalma így két részre oszlott: a szûkebb értelemben vett ?végtelen" fogalmára, amely a matematikához tartozik, valamint a ?határozatlan" fogalmára, amelynek csakúgy, mint régen, most sincs helye a matematikában.

Tyché – véletlen

Az ókori és a modern matematika fogalmai közötti különbség másik példáját a ?véletlen", ?esetlegesség" kifejezése (tyché) adja. Hasonlóan az apeiron fogalmához, a tyché fogalma is sokkal több jelentést foglalt magában az antikvitásban, mint a ?véletlen" fogalma napjainkban. A véletlenszerûen bekövetkezõ események mellett az eshetõséget, szerencsét és általában véve a sorsot is ezzel a szóval jelölték, ezért a matematikai vizsgálódások számára nem volt megfogható ez a fogalom. A tyché sokkal inkább a jóslás hatáskörébe tartozott, mint a matematikáéba. A hétköznapi emberek számára a személyes sorsuk rejtve maradt. Azonban a 16. századtól kezdve kezdtek megjelenni a matematikai irodalomban a szerencsejátékokkal kapcsolatos könyvek, majd a 17. század során ebbõl a hagyományból alakultak ki a modern valószínûség-számítás alapjai.⁵

Az ókori tudósok számára a tyché matematikai megfogalmazása ugyanúgy elképzelhetetlen volt, mint az apeiron vizsgálata. Azonban a tyché esetében ugyanolyan áttörés történt a modern matematika felé, mint az apeiron esetében. A tyché ókori fogalma két részre oszlott: a ?véletlen" fogalmára, amely a valószínûségszámítás tárgya lett, valamint a ?sors" fogalmára, amely továbbra is az egzakt tudományok határain kívül maradt.

Arithmos – ismeretlen

A harmadik változás az algebra születésével van összefüggésben, különösen is az ismeretlen fogalmával, amelyet Descartes óta leggyakrabban az x betûvel jelölünk. Az algebra létrejötte az arab kultúrához kötõdik, amint ezt ennek a matematikai tudományágnak a neve is jelzi. Az arab civilizáció – hasonlóan a nyugati kultúránkhoz – monoteista vallásra épül. Így, ha követjük a monoteista teológia és a modern matematika közötti implicit kapcsolaton alapuló állításunkat, akkor az algebra születését idõrendben a valószínûség-számítás elméletének kialakulása és a ?végtelen" matematikai vizsgálatának kezdetei közé helyezhetjük.

Mindenekelõtt szeretnénk hangsúlyozni, hogy az ókori matematikusok nem ismerték az ismeretlen fogalmát annak mai, modern algebrai formájában. Természetesen az antikvitásban is foglalkoztak a matematikusok számos olyan gyakorlati problémával, amelyek egy bizonyos szám megtalálására irányultak. A görög matematikusok gyakran az arithmos szóval nevezték el ezt az ismeretlen számot. Ugyanakkor az ilyen problémák megoldása közben olyan szintetikus utat választottak, amely során csak azoknak az ismert mennyiségeknek az értékeit használták, amelyek már a probléma megfogalmazása során is adottak voltak. Az ismeretlen mennyiséget – pontosan azért, mert ismeretlen volt – nem tudták felhasználni a számtani mûveletek során.

A modern algebra alapötlete az, hogy az ismeretlen mennyiséget jelöljük betûvel, és ugyanúgy vessük alá a számtani mûveleteknek, mint ahogyan tesszük azt a közönséges számokkal.⁶ Az algebrai jelölésrendszer célja az, hogy legyõzzük azokat az ismeretelméleti korlátokat, amelyek elválasztják a már ismert mennyiségeket azoktól, amelyeket még nem ismerünk. Az algebrában mindkét típusú mennyiséget használjuk: az ismerteket ugyanúgy, mint az ismeretleneket, s úgy kezeljük õket, mintha egyenértékûek lennének. Az ókori matematika számára ez teljesen elképzelhetetlen volt, hiszen ha nem ismerjük egy mennyiségnek a pontos számértékét, akkor nem tudjuk meghatározni a végeredményét azoknak a számtani mûveleteknek sem, amelyeket ezzel a mennyiséggel végzünk. Minden számtani mûvelethez elengedhetetlenül szükséges az, hogy az a mennyiség, amelyen a mûveletet elvégezzük, egyértelmûen meghatározott legyen. Az ókori értelmezés szerint ami határozatlan, az nem lehet tárgya a matematikai mûveleteknek.

Az algebra születése abban állt, hogy az ?ismeretlen" meglehetõsen különös fogalma létrejött, amelyet a határozatlan értékének ellenére mégis úgy kezelünk, mintha teljesen határozott lenne. Azt gondoljuk, hogy ez a fogalom is a ?végtelen" és a ?véletlen" fogalma mellé állítható, ugyanis ez képviseli az egyértelmûség határainak azt a harmadik, lényeges áttörését, amely a matematika világát jellemezte az ókori értelmezés szerint.

Kenón – tér

A ?végtelen", a ?véletlen" és az ?ismeretlen" fogalmának változásához hasonlóan a ?tér" újkori értelmezése is átalakult az ókorihoz képest. A mai ?tér" fogalmunkhoz az ókori ?üresség" (kenón) fogalma állt a legközelebb. Az ókori filozófusok számára – az atomisták és az epikureusok kivételével – az ?üresség" fogalma problémát jelentett. ?Üresség" ott van, ahol semmi nincs, így semmi olyan jellemzõ tulajdonsággal nem rendelkezik, amely tanulmányozható lenne. Még az atomisták sem tudtak sok mindent mondani errõl a fogalomról, annak ellenére, hogy elfogadták az ?üresség" létezését. Így az ?üresség" semmiképpen sem lehetett a tárgya a matematikai kutatásnak. A matematikai tudást tiszta és precíz fogalmak jellemezték, de ez egyáltalán nem volt igaz az ?üresség" fogalmára.

A kora újkori tudomány mégis a matematikai tér fogalmára építette az alapjait. Newton például az abszolút teret a rendszere alapkategóriájaként értelmezte, és kifejezetten matematikai térként hivatkozik rá.⁷ Így teljesen hasonlóan az elõzõ három esethez, újabb terület került a matematika birtokába, egy olyan terület, amely az ókori szemlélet szerint ellenállt minden matematikai vizsgálódásnak. A ?tér" új matematikai fogalma a kenón eredeti fogalmának leszûkítése pontosan úgy, amint az apeiron pontosításából adódott a ?végtelen" mai definíciója, vagy ahogyan a tyché korlátozása adta a ?véletlen" fogalmát. Ma kije­lenthetjük, hogy a tér háromdimenziós, irányítható és folyamatos, de ezeket a tulajdonságokat aligha tudnánk elképzelni az ?üresség" jellemzõiként.

Kinésis – mozgás

Az ókori és újkori matematikai fogalmak különbségének illusztrálására utolsó példaként vizsgáljuk meg a ?mozgás" fogalmát. A görög kinésis szó, amely a mozgást jelentette, sokkal tágabb jelentést hordozott, mint a mai modern ?mozgás" fogalmunk. A térben elfoglalt helyzet változása mellett magában foglalta a növekedés, öregedés és a szín megváltozásának jelentését is. Az ókori matematikai gondolkodás számára a kinésis – csakúgy, mint az apeiron és a tyché – leírhatatlannak bizonyult. Arisztotelész meg is magyarázta, miért lehetetlen leírni a kinésis fogalmát matematikai kifejezésekkel. Egy ókori tudós számára a kinésis matematikai elmélete ugyanolyan abszurdnak tûnt volna, mint az apeiron vagy a tyché matematikai elmélete. A mozgás fogalmának Galilei által bevezetett matematikai leírása sok szempontból hasonlóságot mutat az elõzõ esetekkel, amelyet ebben az dolgozatban tárgyaltunk. A kinésis általános és széles jelentéssel rendelkezõ ókori fogalma ugyanis két részre oszlott: a szûkebb jelentéstartalmat hordozó mozgás definíciója a helyváltoztatást (helyi mozgást) foglalta magában, míg a többi, tágabb jelentéseitõl megszabadult a fogalom. Galilei kidolgozott egy olyan matematikai tudományágat, amely a helyi mozgás⁸ szûkebb fogalmára épült.

A matematizálás határeltolódásainak közös jellemzõje

Az elõzõ fejezetben néhány példán keresztül megmutattuk, hogy a kora újkorban három matematikai tudományág (algebra, valószínûségszámítás és kinematika) alapjait fektették le, és érdemi változás következett be a ?végtelen" és a ?tér" fogalmának értelmezésében. Ha összehasonlítjuk a matematika tudományának ezt az öt új területét az ókori matematikával, láthatjuk, hogy az ókorban a matematika számára lehetetlennek bizonyult mindezen területek vizsgálata. Annak, hogy a 16. és 17. század során ezek a területek a matematikai vizsgálódás tárgyai lettek, több közös kiváltó oka van. Elõször is, az apeiron, tyché, kenón és kinésis ókori fogalma sokkal tágabb jelentésû, mint a mai modern ?végtelen", ?véletlen", ?tér" és ?mozgás" fogalmaink, amelyek az új matematikai diszciplínák alapjai lettek. Ma szigorúan megkülönböztetjük a végtelent a határozatlantól, a véletlent a sorstól, az ürességet a tértõl és a mozgást a változástól. Így az ókori fogalmakból, amelyek tág jelentésûek és kétértelmûek voltak, jobban definiált és egyértelmûbb részek váltak ki, s csak ezek a szûkebb jelentésû fogalmak váltak a matematikai vizsgálódások tárgyaivá.

A fentebb tárgyalt változások második közös jellemzõje az, hogy a ?végtelen", ?véletlen", ?tér" és ?mozgás" új, leszûkített fogalmai még mindig rendelkeztek bizonyos fokú kétértelmûséggel. Azonban ez a maradék bizonytalanság a tartalom terén sokkal kisebb volt, mint az ókori fogalmak eredeti homályos jelentése. A kétértelmûség csökkentése nagyon fontos volt, hiszen pontosan az apeiron, tyché, kenón és kinésis fogalmainak bizonytalansága volt az, ami a görög matematikusokat arra a meggyõzõdésre vezette, hogy matematikailag leírhatatlan fogalmakról van szó. A modern matematika sikere éppen abban állt, hogy megtalálta az utat a leszûkített ?végtelen", ?véletlen", ?tér" és ?mozgás" fogalmak maradék bizonytalanságainak legyõzéséhez.

Elérkeztünk a korábban említett változások harmadik közös jellemzõjének tárgyalásához. Vegyük elõször a ?végtelen" fogalmát. Míg az ókori felfogás szerint az eltévedés és az útvesztés tartalmak miatt az apeiron negatív fogalmat jelentett, addig a középkori tudós számára a végtelenbe vezetõ út az Istenhez vezetõ úttá vált. Isten végtelen létezõ, de végtelensége ellenére abszolút tökéletes. Amint a végtelen fogalmát Istenre alkalmazták, a szó elvesztette homályosságát és kétértelmûségét.⁹ A ?végtelen" fogalmát a teológia pozitív, világos és egyértelmû kifejezéssé tette.¹⁰ Minden kétértelmûséget és bizonytalanságot, amely a ?végtelen" fogalmában megtalálható volt, ezek után úgy értelmeztek, mint amely egyedül az emberi végesség és tökéletlenség következménye. Maga a ?végtelen" teljesen tiszta és egyértelmû fogalomként lett meghatározva, s így a matematikai vizsgálódások ideális tárgyává vált.

Hasonlóan, a ?véletlen" fogalmának esetében is, Isten mindentudásának következménye volt az, hogy a fogalom kétértelmûsége elveszítette ontológiai dimenzióját, és a szó negatív értelme egyszerû episztemológiai hiányra redukálódott. Isten minden kockavetés végeredményét elõre ismeri, csupán az emberi értelem végességének tudható be az, hogy ez az ismeret rejtve marad elõttünk. Ezért egy véletlen esemény – legalábbis Isten szemszögébõl nézve – egyértelmûen meghatározott, s így alkalmas a matematikai vizsgálatra. Így érthetõvé válik, hogy egy teljes mértékben determinált világegyetem képzete és a valószínûségszámítás klasszikus értelmezése ugyanannak az embernek, nevezetesen Pierre Simon de Laplace-nak az ötlete volt. A determinizmus és a véletlen ugyanannak a valóságnak két különbözõ oldala. A determinizmus az ontológiai oldala, míg a véletlen az episztemológiai oldala ugyanannak a világnak. Laplace szerint a világ teljes mértékben elõre meghatározott, de ennek ismerete az emberi értelem számára csak a véletlenszerûen bekövetkezõ eseményeken keresztül tárul fel.

A számtani mûveletek végzéséhez szükséges ontológiai határozottság, valamint az episztemológiai határozatlanság közötti feszültség jellemzõ az algebrában szereplõ ?ismeretlen" fogalmára is. Az ?ismeretlen" nem megismerhetõ számunkra, véges létezõk számára. Isten számára azonban nem léteznek ?ismeretlenek". Amint Isten ránéz egy algebrai probléma egyenletére, azonnal látja az ?ismeretlen" értékét is. Nem szükséges megoldania az egyenletet, mert mindentudása miatt azonnal tudja a megoldást is. Így a ?véletlen" esetéhez hasonló módon, az algebrában is az ontológiai bizonytalanság – amely lehetetlenné tette a görögök számára a kérdés matematikai tárgyalását – átalakult az emberi végességbõl eredõ episztemológiai bizonytalansággá, amely a matematikai leírhatóság kérdésében már nem játszott szerepet.

A mozgástan esete hasonló az eddigiekhez. Ontológiai szinten a mozgás tökéletes és teljesen determinált. Az a tény, hogy számunkra kétértelmûnek tûnik (mert például nem vagyunk képesek eldönteni, hogy a szabadesés gyorsuló mozgás-e vagy sem), csupán az emberi tökéletlenség következménye. A ?tér" fogalmának helyzete még világosabb. A Scholium generale címû híres fejezetben Newton úgy jellemezte az abszolút teret, mint Sensorium Dei. Ezért a tér azon tulajdonságai – melyek lehetõvé teszik a matematikai vizsgálódást – mint például folyamatosság vagy összefüggõség, Isten tökéletességében gyökereznek. Mi, emberek azonban kizárólag a viszonylagos, tapasztalati teret tudjuk felfogni.

A monoteista teológia mint a matematizálás határeltolódásainak egyik oka

Összegezve elmondhatjuk, hogy az ókori tudósok számára az ontológia és az episztemológia egységben voltak. Olyannak tekintették a világot, ahogyan az megjelent elõttük, a jelenségeket pedig kétértelmûnek és homályosnak, úgy, ahogyan megmutatkoztak. A modern ember számára azonban az ontológia és az episztemológia alapvetõ módon különböznek egymástól. A világ létét Isten határozza meg, ezért az egyértelmû és tökéletes. Másrészt viszont a világról szerzett ismereteinket az emberi értelem véges kapacitása korlátozza, ezért azok kétértelmûek és homályosak. Pontosan ez az a szakadék az ontológia és az episztemológia között, amelyek azon területek matematikai leírását teszik lehetõvé, amelyek számunkra csak homályos módon tárulnak fel. Ha az észlelt kétértelmûségeket kizárólag az emberi végesség számlájára írjuk – vagyis úgy értelmezzük, mint episztemológiai kétértelmûségek – akkor lehetõvé válik az említett jelenségek matematikai tanulmányozása az ontológiai szinten.

Ez a megállapítás arra figyelmeztet minket, hogy a monoteista teológia valószínûleg sokkal fontosabb szerepet játszott a modern matematikai tudományok megteremtésében, mint amennyit rendszerint tulajdonítunk neki. A monoteista teológia alapvetõ változást hozott az episztemológiai háttér értelmezésében azzal, hogy elválasztotta az ontológiát az episztemológiától. Ez a szétválasztás végül azon modern matematikai tudományágak születéséhez vezetett, melyek alapfogalmai a ?végtelen", a ?véletlen", az ?ismeretlen", a ?tér" és a ?mozgás" lettek. A kora újkor és a hellén kultúra matematikája közötti különbségek talán jellemezhetõk úgy, mint az egyértelmû jelenségek határainak kibõvítése, és a matematika világának kinyitása olyan kétértelmû jelenségek vizsgálatára, mint a ?végtelen", a ?véletlen", vagy a ?mozgás". Ez egy alapvetõ változás, talán a legfontosabb az axiomatikus rendszerek elméletének felfedezése és igazolása óta. S ez az alapvetõ változás, ez a radikális áttörés a modernitás irányába valószínûleg a monoteista teológiához kapcsolható.

Természetesen az a bizonyíték, amelyet a matematikatörténet öt példája nyújtott számunkra, messze van attól, hogy bizonyító erejû legyen. Célunk nem az, hogy a teológiára alapozzuk a tudomány- és matematikatörténet fejlõdését, hanem sokkal inkább az, hogy a teológia és a tudomány kapcsolatát közvetett módon megközelíthetõvé tegyük. Hasonlóan ahhoz, ahogyan Max Weber elemezte a protestáns etika szerepét a modern kapitalizmus fejlõdésében, lehetséges a monoteista teológia szerepét tanulmányozni a modern tudomány haladásában is. A monoteista teológia csakúgy, mint a protestáns etika, nem közvetlen módon hatott erre a fejlõdésre. Sokkal inkább segítette azon feltételek megteremtését, amelyek között a modern tudomány kialakulása lehetségessé vált.

JEGYZETEK

1. Georg Cantor (1845-1918) munkáinak teológiai vonatkozásához ld. [2, 6. fej.] [4, 8. fej.] [8]. Bemard Bolzano (1781-1848) halmazelméleti munkáinak teológiai hátteréhez ld. [13]. – 2. Az egyik legelsõ végtelen kiterjedésû geometriai alakzat leírását Evangelista Toricelli (1608-1647) végezte 1647-ben [11, 227-232. o.]. – 3. Végtelen kicsi mennyiségeket Johannes Kepler (1571-1630) használt a Nova stereometria doliorum vinariorum-haxi (Linz, 1615), illetve Galileo Galilei (1564-1642) használt a Discorsi e dimonstrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze; attenenti alla mecanica i movimenti locali-ban (Leiden, 1638) [11, 192-209. o.] – 4. Végtelen halmaz említésével Bolzanónál találkozunk, a Paradoxien des Unendlichen-ben (1851) [1]. – 5. Az egyik legkorábbi szerencsejátékokról megjelent könyv a Liber de Lu-do Aleae (Könyv a szerencsejátékokról) volt, amelyet Gerolamo Cardano (1501-1576) írt 1565 elõtt [10]. A valószínûség-számítás elmélete olyan ma­tematikusok munkája nyomán született, mint Pierre de Fermat (1601-1665), Blaise Pascal (1623-1662), Christian Huygens (1629-1695), Johann Bernoulli (1667-1748), Abraham de Moivre (1667-1754) stb. [3]. 6. ⁶Al Khwarizmi 820 körül vezetett be az ismeretlennel kapcsolatban a három mûveletet: al gabr, al muquabala és al radd. Az elsõbõl kapta az algebra a nevét [12]. – 7. ⁷Az abszolút tér kifejezést Isaac Newton (1643-1727) vezette be a Scho-lium Generale-ban, ami a Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) elsõ könyve elején található. – 8. Galileo fektette le a kinematika alapjait a Discorsi e dimonstrazioni ma-tematiche, intorno a due nuove scienze; attenenti alla mecanica i movimenti locali-ban (1638). – 9. A végtelen fogalomra nézve a változás Nicolaus von Kues (1401-1464) tevékenységéhez köthetõ [9]. – 10. A végtelen fogalmával kapcsolatban a modern természettudomány teo­lógiai hátterének vizsgálatához ld. [5] [6].

Hivatkozások

1. Bolzano, B.: Paradoxien des Unendlichen. Felix Meiner, Hamburg, 1975.

2. Dauben, J. W.: Georg Cantor. His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Princeton University Press, Princeton, 1979.

3. David, F. N.: Games, Gods and Gambling. A History of Probability and Statistical Ideas. Charles Griffin, London, 1962.

4. Ferreirós, J.: Labyrinth of Thought. A History of Set Theory and its Role in Modern Mathematics. Birkhauser, Basel, 1999.

5. Funkenstein, A.: Theology and the Scientific Imagination. Princeton Univ. Press, Princeton, 1986.

6. Gaál B.: The Truth of Reason and the Reality of the World. Debrecen Reformed College, Debrecen, 2002.

7. Hájek, P.: Goedeluv dukaz existence Boha. (Goedel's proof of God's existence, in Czech). In: J. Malina and J. Novotny (szerk.). Kurt Goedel. Universitas Masarykiana, Brno, 1996.

8. Hallet, M.: Cantorian Set Theory and Limitation of Size. Clarendon Press, Oxford, 1984.

9. Knobloch, E.: Unendlichkeit und Mathematik bei Nicolaus von Kues. In: Schürmann, A. and Weiss, B. (szerk.) Chemie-Kultur-Geschichte, Festschrift für Hans-Werner Schütt, Verlag für Geschichte der Natur-wissenschaften und der Technik, Berlin 2002, 223-234. o.

10. Ore, O.: Cardano the Gambling Scholar. Princeton, 1953.

11. Struik, D. J.: A Source Book in Mathematics, 1200-1800. Harvard University Press, Cambridge MA, 1969.

12. Waerden, B. L.: A History of Algebra. From al-Khwarizmi to Emmy Noether. Springer, Berlin, 1985.

13. Zlatos, P.: Ani matematika si nemoze byt istá sama sebou, Úvahy o mnozinách, nekonecne, paradoxoch a Gödelovych vetách. IRIS, Bratis-lava, 1995.

14. Zlatos, P.: Gödelov ontologicky dokaz existencie Boha. In: Rybár, J. (szerk.): Filozófia a kognitívne vedy, IRIS, Bratislava, 2002.

SZIRTES ANDRÁS

Eukleidésztõl Pannenbergig

– Teológia és matematika a modernitás után^* –

A tudomány emberének egyik legfõbb kísértése a saját szakmaiságába való bezárkózás. Ez lehet annak hátterében is, hogy mind a matematikusok, mind a teológusok ritkán gondolnak arra, hogy saját tudományuknak a másikhoz valamiféle köze lehet. Pedig matematika és teológia összetalálkozására – túl az alábbiakban tárgyalandó összefüggéseken – a mûvészetben is találunk példát. Salvador Dali Corpus hypercubus címû festménye a megfeszített Krisztust egy négydimenziós kocka háromdimenziós kihajtogatásán ábrázolja.

Számos történelmi példa mutatja, hogy az ember a teremtettségénél fogva benne levõ igazság, tökéletesség és szépség utáni vágyat a vallás és a matematika útján is igyekezett kielégíteni. Ebben gyökerezik a két tudomány kapcsolata, ami hol látható, hol láthatatlan formát ölt(ött). A látható, közvetlen kapcsolódások egyik klasszikus példája Pascal fogadás-érve [16, 233. szakasz], ami – ma így mondanánk – egy játékelméleti modell Isten létezésére, napjainkból pedig Swinburne munkásságát említhetjük, aki könyveiben a feltételes valószínûségekre vonatkozó Bayes-tételt alkalmazza, például Jézus feltámadásának bizonyítására [22]. A közvetlen kapcsolatok ugyanakkor inkább a vallásfilozófia, mintsem a teológia körébe tartoznak. A közös kulturális-filozófiai közegen keresztül a matematika és a teológia közvetett módon is kapcsolatba kerül(t) egymással. A hatások ebben az összefüggésben sokrétûek és összetettek, és érintik a teológia és más tudományok kapcsolatát is. Ez adja a közvetlen kapcsolódások hátterét is, amelyek gyakran azért tûnnek mesterkéltnek, mert a közös kulturális kontextusban a két tudomány valamelyike domináns, a másik pedig tõle nyer(het)i el legitimációját. E tekintetben az alábbi egyszerû paradigmát állítjuk fel:

premodern – a teológia primátusa¹

modern – a matematika primátusa

posztmodern – ?

Figyelmünket a továbbiakban a matematika és teológia közötti közvetett kapcsolatra irányítjuk, azon belül is azt vizsgáljuk, miként alakul az a modernitásban, illetve azután. A történetet tehát valahol ott folytatjuk, ahol Kvasz László abbahagyta (26. o.).

Modernitás: a matematika és Eukleidész meghatározó szerepe

Az újkort az abszolút, biztos és egyetemes tudás utáni vágy hatja át. Ennek mintája a matematikai ismeret, aminek oka a matematika – ma is gyakran megfogalmazott – ismérveiben keresendõ, nevezetesen, hogy a matematika állításai általánosan érvényesek, igazságuk nem változik (amit egyszer bebizonyítottak, az mindig és mindenütt igaz), függetlenek az egyéntõl, a nézõponttól, tehát objektívek. Ezeket az ismérveket az újkor elején a matematikán belül is leginkább a geometriában vélték megtalálni: a tudás és a tudomány alapmintájává az euklideszi axiómarendszer és az azáltal sugallt szemléletmód lett. A matematika kitüntetett szerepe nemcsak a természettudományban, hanem minden tudományban tetten érhetõ: a szubjektum-objektum séma meghatározta ismeretelmélet és az objektivitás ?mítosza" is innen eredeztethetõ. Mindezt jól érzékelteti Descartes gondolatmenete az Értekezés a módszerrõl címû mûvében. A geometria szerepérõl például egy helyen ezt írja:

?Azok a hosszú, egészen egyszerû és könnyû oksorok, amelyekkel a geométerek szoktak élni, hogy eljussanak legnehezebb bizonyításaikhoz, azt a gondolatot keltették bennem, hogy az emberi megismerés körébe esõ összes dolog ugyanilyen módon követi egymást." [2, 30. o.]

Késõbb világossá teszi, megbízható tudás semmilyen más módon nem érhetõ el:

?Szilárdan ragaszkodtam ahhoz az elhatározásomhoz, hogy … semmi olyat nem fogadok el igaznak, amit nem látok világosabbnak és biztosabbnak, mint azelõtt a geométerek bizonyításait." [2, 53. o.]

Ugyancsak közvetlenül tetten érhetõ a geometria hatása Spinozánál és Kantnál. Spinoza formailag is axiomatikusan, de more geometrico építi fel etikáját [19]. Kant a Prolegomenában a metafizika tudományos megalapozását a tiszta matematikából és a tiszta természettudományból kiindulva végzi el, mivel itt talál a priori szintetikus ítéleteket. A kettõ közül a matematika a szilárdabb, mivel ?saját evidenciájára támaszkodik", és a tiszta természettudomány, amely nem lehet meg a tapasztalatok nélkül, ?bármilyen nagyfokú bizonyosságra képes is, a matematikával éppoly kevéssé veheti fel a versenyt, akárcsak a filozófia" [9, 99. o.]. Ezért nem véletlen, hogy a metafizika helyzetét a következõképpen látja:

?Nem tudunk egyetlen könyvet sem felmutatni – ahogyan Eukleidészünket felmutatjuk -, mondván: íme, a metafizika, itt megtalálhatjátok e tudomány legnemesebb célját, a legfõbb lény és egy eljövendõ világ ismeretét, a tiszta ész elveibõl levezetve." [9, 27. o.]

Ebben a sajnálkozásban természetesen saját munkájának célját is megfogalmazza.

Más filozófusoknál és tudósoknál a matematika hatása inkább közvetetten, a megalapozáselvû (foundationalist) ismeretelméleteken keresztül érvényesült. Ezek fõ jellemzõje az, hogy az ismeretek rendszerét – ha nem is feltétlenül használják a Descartestól származó metaforát [2, 24kk. o.] – egy szilárd alapokra épülõ háznak látják. Az alapot az elõzetesen elfogadott, vitathatatlan kiinduló pontok, az axiómák vagy a tények adják, amelyekbõl a többi ismeret levezethetõ. Ezek helyességét az elsõdleges igazságok vagy tények eleve igaz volta és a levezetés/bizonyítás következetessége biztosítja.² A posztmodern kritika szerint a megismerésnek, illetve a tudás felépítésének ilyen típusú szemlélete döntõen meghatározta a modernitás filozófiai irányzatait. Témánk szempontjából azonban azt is látnunk kell, hogy a megalapozáselv gyökere – a konkrét ismeretelmélet racionalista-deduktív vagy empirikus-induktív jellegétõl függetlenül – az axiomatikus megközelítés. A matematika mint az egyetemes, igazolható és ezért megbízható tudás mintája, az újkorban a gondolkodás minden területére döntõ hatással volt.

Modern teológia

Nancey Murphy amerikai teológus tézise szerint a modernitás Descartes-tal kezdõdõ megalapozáselvû ismeretelméleti paradigmája mind a konzervatív, mind a liberális teológiát meghatározta, pontosabban ezek éppen az adott filozófiai keret kényszerében jöttek létre és formálódtak. A konzervatív teológia a tévedhetetlen Szentírást és annak tényeit, a liberális a vallásos tudatot vagy tapasztalatot tekintette a teológia kiindulópontjának³ [13, lkk. o.]. Ez a tétel – amit részleteiben most nem vizsgálunk, csak néhány példával illusztrálunk – alátámasztja korábbi kijelentésünket, miszerint az újkorban teológia és a matematika kapcsolatát az utóbbi dominanciája jellemezte. A teológia is ugyanabban a kulturális-filozófiai közegben dolgozott, amiben a többi tudomány is, és amelyben a tudás megalapozásának és felépítésének mintáját, ha közvetetten is, de az axiomatikus geometria adta. Ezt mutatják az alábbi példák is.

Charles Hodge, a 19. századi amerikai konzervatív teológia egyik jelentõs alakja 1871-ben megjelent Rendszeres teológiájában a természettudomány módszertanát tekinti mintának:

?A teológia valódi módszere tehát az indukció, amely feltételezi, hogy a Biblia tartalmazza az összes tényt vagy igazságot, amely a teológia tartalmát adja éppen úgy, ahogyan a természet tényei a természettudományok tartalmát. Azt is feltételezzük, hogy ezeknek a bibliai tényeknek az egymáshoz való kapcsolata, a mögöttük lévõ elvek és az azokat meghatározó törvényszerûségek magukban a tényekben találhatóak, és azokból kell kikövetkeztetni éppen úgy, ahogyan a természet törvényeit is a természet tényeibõl vezetjük le. Egyik esetében sem az értelembõl származnak az elvek, és nem az elveket vonatkoztatjuk a tényekre, hanem mindkét tudományban az elvek vagy törvények a tényekbõl következnek, és az értelem csak felismeri azokat." [8, Intro. Ch. 1.]

A matematika hatása itt egy pozitivista, objektivisztikus tudományfilozófián keresztül érvényesül.

Ugyancsak a megalapozáselv jelentõségét példázzák az ébredési teológus, Charles Finney írásai. Rendszeres teológiájának (1851) bevezetõ kérdése: Hogyan jutunk el biztos igazságok ismeretére? [4, 1. lect.] Finney abból indul ki, hogy minden tanítás vagy érvelés bizonyos a priori elfogadott, igaz axiómákra épül, ezért a teológia igazságait is két nagy csoportba sorolja. Vannak a bizonyítást igénylõ igazságok, és vannak a bizonyítást nem igénylõ igazságok, ez utóbbi csoporton belül még további megkülönböztetéseket alkalmaz. Mindez azért fontos, mert ha az érvelés során olyan igazsághoz jutunk el, amely ún. ?elsõdleges igazság", akkor tételünket máris bizonyítottnak tekinthetjük. Finney tárgyalásmódja ugyan eltér Hodge-étól, mivel inkább mutat deduktív-racionalista vonásokat, a szemléletmód hasonlósága azonban érzékelhetõ.

Végül harmadik példánk a baptista dogmatikus Edgar Mullins 1908-ban kiadott írása a vallás axiómáiról. Azt, hogy a szerzõ mennyire nem valamilyen általános értelemben használja az axióma szót, jól mutatja az alábbi idézet:

?Állításom tehát az, hogy ezek axiómák; azok számára, akik egyáltalán elfogadják a keresztyénséget, magától értetõdõek. Mint általános alapelveket egyetlen evangéliumi keresztyén vagy intelligens nem hívõ sem fogja kétségbe vonni. […] az axióma szót nem szigorú, matematikai értelemében használom. Mégis, az elõadott igazságok az erkölcs és vallás világában olyanok, mint a matematika axiómái. Azaz, ha az egyes szavak értelmét világosan felfogja, az olvasó elméje nem fog tiltakozni vagy vitatkozni." [12, 74. o.]

Mullins gondolkodásmódja más tekintetben is jellegzetesen modern.

A megalapozáselv az alapigazságok/axiómák megfellebbezhetetlen-ségének valamiféle bizonyítását is igényli. A kiindulópontoknak ez a kiterjedt elemzése a teológiában oda vezetett, hogy a bevezetéstan, az ún. prolegomena terjedelme és részletessége roppant mértékben megnõtt. A modern teológia sajátos ?prolegomenizmusban" szenved, amelynek lényege, hogy a valóban teológiai munkát elõzetes, részben vagy egészben teológián kívüli, ?például történeti vagy filozófiai", érvrendszerrel kell megalapozni, amely biztosítja a teológiai kijelentések igazságát és az egész munka tudományos jellegét. Ez egyaránt igaz az európai és az amerikai, a konzervatív és a liberális teológiára [15, 30-45. o.] [20, 170kk. o.].

A modern teológia rövid jellemzését azzal zárjuk, hogy rámutatunk, hogyan érintette a matematika dominanciája Isten végtelenségének teológiai értelmezését. Amint az Kvasz László elõadásából kitûnt (18. o.), a végtelen fogalma a matematikában csak az újkor hajnalán nyert létjogosultságot. A matematikai analízis kezelhetõvé tette a végtelent, és így az az általunk leírható és megragadható világ részévé vált, ha csak annak határaként is. Ez azzal jár, hogy – a matematika domináns szerepe miatt – némiképp Isten is a világ részévé, illetve határává lesz, és Isten végtelenségérõl a teológia többé nem tud minden további megjegyzés nélkül beszélni. Tillich szerint ezért téves az a teológia, amelyik ?Isten végtelenségét olyan végességgé teszi, amely nem egyéb, mint a végesség kategória-rendszerének kitágítása" [23, 243. o.]. Pannenberg pedig azt hangsúlyozza, hogy meg kell különböztetnünk egymástól a végtelen kvalitatív és kvantitatív (matematikai) meghatározását: a végtelen matematikai fogalmában a végtelen és véges ellentéte csak részlegesen jelenik meg [15, 304. o.].

Megrendült modernitás: új lehetõségek

Amint a matematika szolgált a megalapozáselv alapjául, úgy a kritika alapjául is. A 17. században Descartes által minden biztos tudás mintájának tekintett geometria a 20. századra csak az egyik lehetséges geometriává lett. A 19. század elsõ felében három matematikus egymástól függetlenül – a tudománytörténeti vita ma is tart, hogy melyikük hamarabb⁴ – felismerte, hogy nem csak az Eukleidész által felállított axiómák adta keretben lehetséges geometria.

A nevezetes 5. posztulátum, az ún. párhuzamossági axióma⁵ bizonyításának számtalan kudarca után Bolyai, Lobacsevszkij és Gauss azt mutatta meg, hogy az ennek elhagyásával, illetve átfogalmazásával felállított axiómarendszer is lehetõvé tesz egy geometriát. Bár csak az einsteini relativitáselmélet igazolta a felfedezés gyakorlati jelentõségét, Bolyai János már 1823-ban így számol be eredményeirõl édesapjának, Farkasnak: ?Semmibõl egy új, más világot teremtettem."⁶ A nemeuklideszi geometriák megrendítik a modernitás tudásról alkotott felfogását. A ?mítosz", miszerint a geometria a tudás legszilárdabb, legmegbízhatóbb területe, ami ezért mind a filozófia, mind a teológia támasza, többé nem tartható [7, 143-144. o.]. A valóság nem csak egyféleképpen nézhetõ, még a matematikában és természettudományban sem. A posztmodern – ha szabad így fogalmazni – Bolyaival kezdõdik [21, 4-5. o.].

Egy további, immár nem geometriai példa szintén az euklideszi axiómák feltétlen érvényességét kérdõjelezte meg. A 8. axióma így szól: ?Az egész nagyobb a résznél" [3, 47. o.]. Ez a kézenfekvõnek tûnõ állítás végtelen halmazok esetében nem igaz. Egy végtelen halmaznak ugyanis mindig van olyan részhalmaza, amelyben ugyanannyi elem van, mint magában az egész halmazban. Például, a természetes számok {1,2,3,4,…} halmaza és a páros számok {2,4,6,8,…} halmaza ugyanannyi (végtelen) elembõl áll, hiszen a két halmaz elemei egymással párba állíthatók. A 19. század második felétõl kibontakozó axiomatikus halmazelmélet hamar eljutott azokhoz az axiómákhoz (kiválasztási axióma, kontinuum-hipotézis), amelyek az euklideszi geometria párhuzamossági axiómájához hasonlóan ?viselkednek" [18, 768-782. o.].

A geometria, a halmazelmélet, továbbá más matematikai ágak, illetve az egész matematika logikai alapú, axiomatikus felépítésének különbözõ kísérletei a 20. században általánosabb, magukra az axiómarendszerekre vonatkozó tételekhez vezettek. Ebben a körben a legnagyobb jelentõséggel Gödel tételei bírnak, aki – egyszerûen megfogalmazva – azt mutatta meg, hogy minden ?valamire való" axiómarendszer ?hiányos". A hiányos itt két dologra vonatkozik: egyrészt arra, hogy minden rendszer számára léteznek megoldhatatlan problémák (elsõ nemteljességi tétel), másrészt, hogy az adott rendszer ellentmondás-mentessége a rendszeren belül nem igazolható (második nemteljességi tétel).⁷ A tételek alapján megfogalmazható filozófiai következtetések közül minket a matematika és az igazság viszonyára vonatkozóak érintenek.

A közgondolkodással ellentétben a tudományfilozófia ma már nem osztja azt az elképzelést, miszerint a matematika az abszolút és megfellebbezhetetlen igazságot megtestesítõ tudomány, ahol minden egyértelmû és bizonyos, jóllehet vannak megoldatlan feladatok. Egy-egy problémára többféle modell is lehetséges, melyek vonatkozásában a konzisztencia és a leíró funkció kérdése az elsõdleges [1, 8. o.]. Az igazság vagy bizonyosság a mi elméleteink vonatkozásában mindig relatív, végsõ értelmükben rendszereinken és tudásunkon túl van [21, 5. o.]. ?A matematika igazságát hit alapján fogadhatjuk el" (John Byl) [11, 20. o.]. Megerõsítik ezt Polányi gondolatai is:

?…õszintén el kell ismernünk, hogy azért foglalkozunk a matematikával, és azért fogadjuk el állításait, mert intellektuá­lisan szép, és ez a matematikai fogalmak realitásának és a matematikai állítások igazságának a jele." [17, 327. o.]

A tudásról és igazságról való felfogás újra közel kerül e szavak bibliai értelméhez.

Más tudományokkal párhuzamosan a teológia is arra törekszik, hogy szabaduljon a modernitás szabta kényszerpályáktól.⁸ Barth már a 20. század elsõ felében elutasította a liberális teológia kartezianizmusát, egy helyen ?a módszer bálványimádását" említi, és tévútnak tartotta, hogy a teológia külsõ megalapozást keres (prolegomenizmus) [14, 39. o.]. Pannenberg – részben Barth nyomán – azt hangsúlyozza, hogy a teológia az igazság kérdését nem zárhatja le egy bevezetésben, és nem biztosíthatja azt semmilyen módszerrel, hanem minden témakörben tartalmilag kell beszélnie róla. Végsõ soron pedig nem a dogmatikus ?hivatott eldönteni a keresztyén tanítás igazságának kérdését [… ] Az igazságról maga Isten hivatott dönteni" [15, 52. o.].

A posztmodern – sokféle értelmezésével együtt – mind a matematika, mind a teológia számára új lehetõségeket jelent. Az egyes tudományok önmagukról alkotott képének változásával együtt újulhat meg a természettudomány és a teológia, illetve speciálisan a matematika és a teológia kapcsolata is. Ennek lényege talán az lehet, hogy nem szükséges, hogy akármelyiknek is primátusa legyen. Mind a matematika, mind a teológia, vagy egyik sem kompetens az igazság dolgában, tehát lehetséges a kettõ kooperációja.

JEGYZETEK

1. Ezzel szemben Stucki szerint Pitagorasztól a modernitáson át mindig a teológia volt a matematika alárendelt szolgája [21, 4. o.]. – 2. Szokás a különbözõ megalapozáselvû ismeretelméleteket aszerint jellemezni, hogy az alapokra és a következtetési szabályokra vonatkozóan mennyire szigorú feltételeket fogalmaznak meg [25, 85-113. o.]. – 3. Hasonló tipológiát állít fel Lindbeck is, aki a kognitív-propozicionalista és a tapasztalati-expresszív megjelöléseket használja [10, 36. o.]. – 4. A történeti kérdések vonatkozásában lásd [24, 126. o.-tól]. – 5. ?És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkezõ belsõ szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögben kisebb szögek vannak" [3, 47. o.]. – 6. Bolyai János édesapjához 1823. november 3-án kelt levelébõl [24, 69. o.]. – 7. A pontosabb kifejtést lásd [6, 66-67. o.]. – 8. A tágabb összefüggésekrõl lásd például [5].

Hivatkozások

1. Brabenec, R. L.: The Historical Shaping of the Foundations of Mathe-matics. Proceedings of the ACMS Conference, 1977. http://www.acmsonline.org/Brabenec-77.pdf

2. Descartes, R.: Értekezés a módszerrõl. Ikon Kiadó, 1992.

3. Eukleidész: Elemek. Budapest, Gondolat, 1983.

4. Finney, C. G.: Systematic Theology. 1851. http://www.gospeltruth.net/1851Sys_Theo/st01.htm

5. Gadamer, H.: Igazság és módszer. Budapest, Gondolat, 1984.

6. Gödel, K.: Néhány tétel a matematika megalapozásáról és ezek következményei. In: A matematika filozófiája a 21. század küszöbén, szerk. Csaba Ferenc, Budapest, Osiris Kiadó, 2003.

7. Hersh, R.: A matematika természete. Budapest, Typotex Kiadó, 2000.

8. Hodge, C: Systematic Theology. Vol. 3. New York, Scribner's son, 1871. http://www.dabar.org/Theology/Hodge/TableofContents/Content_Intro.htm

9. Kant, L: Prolegomena. Budapest, Atlantisz, 1999.

10. Lindbeck, G.: A dogma természete. Vallás és teológia a posztliberális korban. Hermeneutikai füzetek 17., Budapest, Hermeneutikai Kutató­központ, 1998.

11. Matsumoto, S.: Call for a Non-Euclidean, Post-Cantorian Theology. Proceedings of the ACMS conference, 2005. http://www.huntington.edu/math/acms/PowerPoint/Matsumoto2005.ppt

12. Mullins, E. Y.: The Axioms of Religion. Philadelphia, The Griffith & Rowland Press, 1908.

13. Murphy, N.: Beyond Liberalism and Fundamentalism. How Modern and Postmodern Philosophy Set the Theological Agenda. Harrisburg, Pa., Trinity Press International, 1996.

14. Nagy B.: A teológiai módszer problémája az úgynevezett dialektika teo­lógiában. Budapest, Kálvin Kiadó, 1999.

15. Pannenberg, W.: Rendszeres teológia 1. Budapest, Osiris Kiadó, 2005.

16. Pascal, B.: Gondolatok. Szeged, Lazi Bt., 2000.

17. Polányi M.: Személyes tudás I-II. Budapest, Atlantisz, 1994.

18. Sain M.: Nincs királyi út! Matematikatörténet. Budapest, Gondolat, 1986.

19. Spinoza, B.: Etika. Budapest, Osiris Kiadó, 1997.

20. Stiver, D. R.: Theological method. In: The Cambridge Companion to Postmodern Theology, ed. by Kevin J. Vanhoozer. CUP, 2003.

21. Stucki, D. J.: Mathematics as Worship. Proceedings of the ACMS Con­ference, 2001.

http:/ /www. acmsonline.org/ Stucki-Worship. pdf

22. Swinburne, R.: The Resurrection of God Incarnate. Oxford University Press, 2003.

23. Tillich, P.: Rendszeres teológia. Budapest, Osiris, 1996.

24. Weszely T.: Bolyai János. Az elsõ 200 év. Budapest, Vince Kiadó, 2002.

25. Wood, W. J.: Epistemology. Becoming Intellectually Virtuous. Apollos, 1998.

1^* Köszönettel tartozom Gaál Botondnak, Donald Gilliesnek, Eberhard Knoblochnak és Pavol Zlatosnak a dolgozat korábbi változatához adott kritikai észrevételeikért. Külön köszönöm Kodácsy-Simon Eszternek a szöveg magyar fordítását. This paper was written as a part of the grant 10019 entitled Science and Religion – their Common Patterns of Transcendence, granted by the Interdisciplinary University of Paris in Cooperation with the John Templeton Foundation. Bemard Bolzano (1781-1848) halmazelméleti munkáinak teológiai hátteréhez ld. [13].

*^*A tanulmány elkészítését támogatta a Pro Renovanda Cultura Hungariae Alapítvány ?Tudomány az oktatásban" szakalapítványa.

? www.reformatus.hu Kommunikációs Szolgálat szerk@reformatus.hu T.:(1)460-0753